Livro: Lições de Homologia
Autores: Marcio Colombo Fenille
Editora: Edusp - Editora da Universidade de São Paulo
Ano: 2024

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Resumo: 
Lições de Homologia apresenta conteúdo e nível adequados a um primeiro curso de topologia algébrica, tendo como únicos pré-requisitos bons cursos de topologia geral e teoria elementar de grupos.
É notório que a disciplina de topologia algébrica tem oferta pouco regular, mesmo em grandes centros de pós-graduação em matemática do país. Por isso, este livro não foi pensado para se encaixar no padrão das disciplinas, mas para atender aos estudantes que queiram aprender a matéria e, eventualmente, tenham que empreender estudo solitário.
Houve empenho por uma apresentação clara e detalhada do conteúdo, com um texto autocontido, busca constante pela concatenação das ideias e a interpretação das coisas, muitos exemplos, ilustrações e mais de cem exercícios propostos. Tudo isso sem deixar de lado o pragmatismo e a urgência de nosso tempo.
A teoria de homologia é uma das mais versáteis e poderosas ferramentas da topologia algébrica, uma engenhosidade capaz de revelar, por meio da construção de pontes entre os universos da topologia e da álgebra, características topológicas por vezes inacessíveis à intuição humana, mas que se tornam cristalinas em meio a estruturas algébricas adequadas.
Após alguns prolegômenos de álgebra homológica, constrói-se a homologia singular. Uma teoria burocrática, mas que, vencidas as etapas iniciais, deslinda um leque de oportunidades de aplicações. Aliás, há um capítulo inteiro de aplicações, por assim dizer, onde encontram-se demonstrados alguns dos mais célebres teoremas da topologia: o teorema do Ponto Fixo de Brouwer, o teorema do Ouriço de Poincaré, o teorema da Separação de Jordan-Brouwer e o teorema da Invariância de Domínios. Há também o teorema de Borsuk-Ulam, apresentado no último capítulo do livro, que trata de homologia com coeficientes em um grupo abeliano. Antes, há um capítulo inteiro sobre complexos cw e homologia celular.